Spirale logarithmique
La forme du nautile est souvent associée à une spirale ou même au nombre d'or. Afin de créer notre propre modèle, nous allons créer une spirale logarithmique et utiliser ses propriétés pour structurer la coquille du nautile.
Définition de la spirale
La spirale logarithmique, ou équiangulaire, est l’ensemble des points correspondant aux localisations dans le temps d'un point s'éloignant au fur et à mesure qu'il tourne autour d'un repère fixe. En tant que telle, en coordonnées polaires \((r, \theta)\) elle peut être décrite comme suit.
– Équation de la spirale logarithmique
- \(r = a + e^{b * \theta}\)
Dans laquelle \(a > 0\) et \(b \ne 0\) sont des constantes réelles, \(e\) est la base des logarithmes naturels, \(r\) est la longueur du rayon à partir du centre de la spirale et \(\theta\) est la rotation totale du rayon.
La spirale a la propriété suivante, l'angle \(\phi\) entre un rayon vecteur à un point de la courbe et la tangente à ce point est une constante définie par la formule suivante, cela nous aidera à façonner le nautile par la suite.
– Tangente à une spirale Logarithmique
- \(tan( \phi) = 1 / b\)
↑ Spirale démo (three.js)
Fonction de la spirale
– Références
- Tangent on a logarithmic spiral, Wolfram
- Is the nautilus shell spiral a golden ratio ?, Golden Number
Sur la base des équations de Johan Gielis et des recherches de Paul Bourke, nous apprendrons à générer des superformes 2D. Ensuite, nous concevrons une coquille de nautiles en les plaçant le long de notre spirale logarithmique.
Définition d'une superforme 2D
The superformula is a generalization of both circle/ellipse and superellipse. In the Cartesian coordinate system, these shapes are described as the set of all points \((x, y)\) sur la courbe qui satisfont les équations suivantes.
– Équation du cercle/ellipse
- \((x / a)^2 + (y / b)^2 = 1\)
– Équation de la superellipse
- \(|x / a|^n + |y / b|^n = 1\)
Où \(a\), \(b\) et \(n\) sont des nombres positifs excluant 0. La superformule peut être utilisée pour décrire de nombreuses formes et courbes complexes que l'on trouve dans la nature. En coordonnées polaires \((r, \phi)\), elle peut être décrite comme suit.
– Équation de la superformule
- \(r = \left(\left|\frac{cos(m / 4 * \phi)}{a}\right|^{n_2} + \left|\frac{sin(m / 4 * \phi)}{b}\right|^{n_3}\right)^{-1 / n_1}\)
Dans laquelle \(a\) et \(b\) (tous deux excluant 0) sont des rapports par rapport au centre de la superforme. Tandis que \(m\) ajoute une symétrie centrale à la forme, les courbes sont répétées dans des sections du cercle d'angle \(2\pi / m\). Enfin, le choix de différentes valeurs pour \(n_1\), \(n_2\) et \(n_3\) génère différentes courbes, ce qui nous permet de créer des formes symétriques et asymétriques.
Normale à un point donné
Enfin, voici une astuce rapide pour calculer la normale à un point donné, appelons-le \(Q\), dans la superforme. Pour ce faire, nous ajoutons le vecteur normalisé du point précédent au point actuel de la courbe, \(\vec{\scriptstyle{PQ}}\), à celui du point actuel au point suivant de la courbe, \(\vec{\scriptstyle{RQ}}\).
– Astuce du vecteur de la normale
- \(\hat{n} = |\vec{\scriptstyle{PQ}}| + |\vec{\scriptstyle{RQ}}|\)
↑ Superforme démo (three.js)
Fonction de la superforme
– Références
- Supershapes (Superformula), Paul Bourke
- 2D supershapes, The Coding Train
- What's a vector ?, 3Blue1Brown
Dans le chapitre suivant, nous concevrons notre nautile en 3D en interpolant des superformes le long de notre spirale logarithmique.
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